11585. Точки E
и F
— середины сторон соответственно BC
и CD
прямоугольника ABCD
. Докажите, что AE\lt2EF
.
Решение. Первый способ. Отрезок EF
— средняя линия треугольника ABC
, поэтому 2EF=BD=AC
. Из теоремы о внешнем угле треугольника угол AEC
тупой, значит, AC
— наибольшая сторона треугольника AEC
(см. задачу 3499). Следовательно,
2EF=BD=AC\gt AE.
Что и требовалось доказать.
Второй способ. Пусть BC=2x
, CD=2y
. Тогда
AE^{2}=x^{2}+4y^{2}\lt4x^{2}+4y^{2}=BD^{2}=(2EF)^{2}.
Следовательно, 2EF\gt AE
.
Источник: Олимпиада Леонарда Эйлера (для 8 класса). — 2010-2011, III, дистанционный этап, первый тур, задача 2