11587. Разделите прямоугольный треугольник с углом 30^{\circ}
на два меньших треугольника так, чтобы какая-то медиана одного из этих треугольников была параллельна одной из биссектрис второго треугольника.
Решение. Пусть в треугольнике ABC
угол A
равен 30^{\circ}
, а угол B
— 60^{\circ}
.
Первый способ. Опускаем высоту CD
из прямого угла на гипотенузу. Биссектриса BK
треугольника BCD
параллельна медиане DM
треугольника ACD
. Действительно, поскольку DM=\frac{1}{2}AC=AM
(см. задачу 1109), углы при основании AD
равнобедренного треугольника AMD
равны по 30^{\circ}
, значит,
\angle MDA=30^{\circ}=\angle KBD.
Следовательно, DM\parallel BK
.
Второй способ. Проводим биссектрису BE
. Тогда
\angle ABE=30^{\circ}=\angle BAE,
поэтому треугольник ABE
равнобедренный, BE=AE
. Значит, его высота EH
является медианой и биссектрисой.
Пусть CF
— биссектриса треугольника BCE
. Тогда по теореме о внешнем угле треугольника
\angle DFE=\angle CBF+\angle BCF=30^{\circ}+30^{\circ}=60^{\circ}=\angle BEH.
Следовательно, EH\parallel DF
, т. е. медиана EH
треугольника ABE
параллельна биссектрисе DF
треугольника BCE
.
Третий способ. Проведём биссектрису BE
. Поскольку \angle EBA=\angle A=30^{\circ}
, то EA=EB\gt EC
, поэтому середина M
катета AC
лежит на AE
, и проведённая через M
параллельно BE
прямая пересекает отрезок AB
в некоторой точке D
. Разделим ABC
на треугольники CBD
и CAD
. Тогда биссектриса угла B
треугольника CBD
лежит на прямой BE
и поэтому параллельна медиане DM
треугольника CAD
.