11603. В четырёхугольник ABCD
вписана окружность с центром O
. Пусть P
— точка пересечения прямой, проходящей через точку C
параллельно BO
, и прямой, проходящей через точку D
параллельно AO
(точки P
и O
лежат по разные стороны от прямой CD
). Докажите, что \angle DPO=\frac{1}{2}\angle BCD
.
Решение. Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе угла, поэтому O
— точка пересечения биссектрис углов четырёхугольника ABCD
. Тогда
\angle AOB=180^{\circ}-\angle ABO-\angle BAO=180^{\circ}-\frac{1}{2}\angle ABC-\frac{1}{2}\angle BAD.
Аналогично,
\angle COD=180^{\circ}-\frac{1}{2}\angle BCD-\frac{1}{2}\angle ADC.
Значит,
\angle AOB+\angle COD=360^{\circ}-\frac{1}{2}(\angle ABC+\angle BAD+\angle BCD+\angle ADC)=
=360^{\circ}-\frac{1}{2}\cdot360^{\circ}=180^{\circ}.
Кроме того, из параллельности \angle CPD=\angle PDC
, поэтому
\angle COD+\angle DPC=180^{\circ}.
Значит, около четырёхугольника CPDO
можно описать окружность (см. задачу 49). Вписанные в эту окружность углы DPO
и DCO
опираются на одну и ту же дугу, следовательно,
\angle DPO=\angle DCO=\frac{1}{2}\angle BCD.
Что и требовалось доказать.
Источник: Агаханов Н. Х., Подлипский О. К. Муниципальные олимпиады Московской области. — М.: МЦНМО, 2019. — 2009, № 505, с. 137, 10 класс, задача 5