11605. Точки M
и N
— середины сторон BC
и CD
четырёхугольника ABCD
. Оказалось, что отрезки AM
и AN
делят диагональ BD
на три равные части. Докажите, что четырёхугольник ABCD
— параллелограмм.
Решение. Пусть точки M
и N
лежат на сторонах BC
и AD
соответственно, а прямые AM
и AN
пересекают диагональ BD
в точках K
и L
соответственно. Тогда KM
и LN
— средние линии треугольников BCL
и CDK
, поэтому KM\parallel CL
и NL\parallel CK
. Значит, AK\parallel CL
и CK\parallel AL
, т. е. противолежащие стороны четырёхугольника AKCL
попарно параллельны. Следовательно, это параллелограмм. Его диагонали AC
и KL
точкой O
пересечения делятся пополам. Тогда
BO=BK+OK=DL+OL=OD,
поэтому диагонали AC
и BD
четырёхугольника ABCD
точкой O
пересечения тоже делятся пополам. Следовательно, ABCD
— параллелограмм.
Примечание. Верно и обратное: если точки M
и N
— середины соседних сторон соответственно BC
и CD
параллелограмма ABCD
, то прямые AM
и AN
делят диагональ BD
на три равные части (см. задачу 1907).
Источник: Агаханов Н. Х., Подлипский О. К. Муниципальные олимпиады Московской области. — М.: МЦНМО, 2019. — 2010, № 530, с. 140, 9 класс, задача 5
Источник: Понарин Я. П. Элементарная геометрия. — Т. 1: Планиметрия, преобразования плоскости. — М.: МЦНМО, 2004. — № 28, с. 141