1907. Точки M
и N
— середины соседних сторон соответственно BC
и CD
параллелограмма ABCD
. Докажите, что прямые AM
и AN
делят диагональ BD
на три равные части.
Указание. AM
и BO
— медианы треугольника ABC
.
Решение. Пусть P
и Q
— точки пересечения диагонали BD
с отрезками AM
и AN
соответственно, O
— точка пересечения диагоналей параллелограмма ABCD
. Тогда P
и Q
— точки пересечения медиан треугольников ABC
и ADC
, поэтому
BP=\frac{2}{3}BO=\frac{1}{3}BD,~DQ=\frac{2}{3}DO=\frac{1}{3}BD,~PQ=\frac{1}{3}BD.
Примечание. Верно и обратное: если точки M
и N
— середины сторон BC
и CD
четырёхугольника ABCD
и при этом отрезки AM
и AN
делят диагональ BD
на три равные части, то ABCD
— параллелограмм (см. задачу 11605).
Источник: Дынкин Е. Б. и др. Математические задачи. — М.: Наука, 1966. — № 65, с. 15
Источник: Делоне Б. Н., Житомирский О. К. Задачник по геометрии. — М.—Л.: ОГИЗ, 1949. — № 84, с. 11