11606. Биссектрисы AM
и CN
треугольника ABC
пересекаются в точке I
. Оказалось, что площади треугольника AIC
и четырёхугольника MINB
равны. Докажите, что стороны треугольника ABC
образуют геометрическую прогрессию.
Решение. Прибавив к обеим частям равенства S_{\triangle AIC}=S_{MINB}
число S_{\triangle CIM}
получим S_{\triangle ACM}=S_{\triangle BCN}
. Прибавив к обеим частям равенства S_{\triangle AIC}=S_{MINB}
число S_{\triangle AIN}
получим S_{\triangle ACN}=S_{\triangle ABM}
. Следовательно,
\frac{S_{\triangle ACM}}{S_{\triangle ABM}}=\frac{S_{\triangle BCN}}{S_{\triangle ACN}}.
Точка M
равноудалена от сторон угла BAC
, так как она лежит на биссектрисе этого угла (см. задачу 1138). Значит, высоты треугольников ACM
и ABM
, проведённые из общей вершины M
, равны. Тогда отношение площадей этих треугольников равно отношению их оснований, т. е.
\frac{S_{\triangle ACM}}{S_{\triangle ABM}}=\frac{AC}{AB}.
Аналогично,
\frac{S_{\triangle BCN}}{S_{\triangle ACN}}=\frac{BC}{AC}.
Значит,
\frac{AC}{AB}=\frac{S_{\triangle ACM}}{S_{\triangle ABM}}=\frac{S_{\triangle BCN}}{S_{\triangle ACN}}=\frac{BC}{AC},
откуда AC^{2}=AB\cdot BC
. Следовательно, числа AB
, AC
и BC
в указанном порядке образуют геометрическую прогрессию.
Источник: Агаханов Н. Х., Подлипский О. К. Муниципальные олимпиады Московской области. — М.: МЦНМО, 2019. — 2010, № 534, с. 141, 10 класс, задача 4