11608. Точки A_{1}
, B_{1}
, C_{1}
— середины сторон соответственно BC
, CA
, AB
треугольника ABC
. Пусть O_{1}
, O_{2}
, O_{3}
, O_{4}
— центры окружностей, описанных около треугольников AB_{1}C_{1}
, BC_{1}A_{1}
, CA_{1}B_{1}
, A_{1}B_{1}C_{1}
соответственно. Докажите, что O_{4}
— точка пересечения высот треугольника O_{1}O_{2}O_{3}
.
Решение. Из теоремы о средней линии треугольника следует, что треугольники AB_{1}C_{1}
, BC_{1}A_{1}
, CA_{1}B_{1}
, A_{1}B_{1}C_{1}
равны по трём сторонам. Тогда равны расстояния от центров их описанных окружностей до соответственных сторон, в частности, равны расстояния от точек O_{2}
и O_{3}
до прямой BC
. Значит, O_{2}O_{3}\parallel BC\parallel B_{1}C_{1}
.
Линия центров пересекающихся окружностей перпендикулярна их общей хорде (см. задачу 1130), поэтому O_{1}O_{4}\perp B_{1}C_{1}
. Значит, O_{1}O_{4}\perp O_{2}O_{3}
. Аналогично, O_{2}O_{4}\perp AC
и O_{3}O_{4}\perp AB
. Следовательно, O_{4}
— точка пересечения высот треугольника O_{1}O_{2}O_{3}
. Что и требовалось доказать.