11609. На сторонах BC
и BA
треугольника ABC
выбраны точки A_{1}
и C_{1}
соответственно, причём \angle BAA_{1}=\angle BCC_{1}
. Биссектриса BL
треугольника ABC
пересекает отрезок A_{1}C_{1}
в точке K
. Докажите, что A_{1}K\cdot CL=C_{1}K\cdot AL
.
Решение. Треугольники ABA_{1}
и CBC_{1}
подобны по двум углам, поэтому \frac{BA_{1}}{BC_{1}}=\frac{AB}{BC}
. По свойству биссектрисы треугольника (см. задачу 1509) \frac{AB}{BC}=\frac{AL}{CL}
и \frac{A_{1}K}{C_{1}K}=\frac{BA_{1}}{BC_{1}}
. Значит,
\frac{A_{1}K}{C_{1}K}=\frac{BA_{1}}{BC_{1}}=\frac{AB}{BC}=\frac{AL}{CL}.
Следовательно, A_{1}K\cdot CL=C_{1}K\cdot AL
. Что и требовалось доказать.