11617. Две окружности равных радиусов пересекаются в точках B
и C
. На первой окружности выбрана точка A
. Луч AB
пересекает вторую окружность в точке D
, отличной от B
. На луче DC
выбрана такая точка E
, что DC=CE
. Докажите, что угол DAE
прямой.
Решение. Дуги равных окружностей, на которые опираются вписанные углы CAB
и CDB
, равны, так как они симметричны относительно прямой BC
. Значит, углы CAB
и CDB
равны. Тогда
\angle CAD=\angle CAB=\angle CDB=\angle CDA,
поэтому треугольник ACD
равнобедренный, AC=CD
.
Поскольку AC=CD=CE
, медиана AC
треугольника DAE
равна половине стороны DE
. Следовательно, \angle DAE=90^{\circ}
(см. задачу 1188). Что и требовалось доказать.