11620. Пусть AA_{1}
и CC_{1}
— высоты остроугольного неравнобедренного треугольника ABC
, а K
, L
и M
— середины сторон AB
, BC
и CA
соответственно. Докажите, что если \angle C_{1}MA_{1}=\angle ABC
, то C_{1}K=A_{1}L
.
Решение. Обозначим AB=c
, BC=a
и CA=b
, \angle A=\alpha
, \angle B=\beta
, и \angle C=\gamma
. Будем считать, что a\gt c
.
Отрезки C_{1}M
и A_{1}M
— медианы прямоугольных треугольников AC_{1}C
и CA_{1}A
, проведённые из вершин прямых углов поэтому
MC_{1}=MA=MC=MA_{1}
(см. задачу 1109). Значит, треугольники AMC_{1}
и CMA_{1}
равнобедренные. Тогда
\beta=\angle ABC=\angle C_{1}MA_{1}=180^{\circ}-\angle AMC_{1}-\angle CMA_{1}=
=180^{\circ}-(180^{\circ}-2\alpha)-(180^{\circ}-2\gamma)=-180^{\circ}+2(\alpha+\gamma)=
=-180^{\circ}+2(180^{\circ}-\beta)=180^{\circ}-2\beta,
откуда \beta=60^{\circ}
.
Из прямоугольных треугольников AA_{1}B
и CC_{1}B
находим, что
BA_{1}=\frac{1}{2}AB=\frac{c}{2},~BC_{1}=\frac{1}{2}BC=\frac{a}{2}.
Значит,
C_{1}K=|BC_{1}-BK|=\left|\frac{a}{2}-\frac{c}{2}\right|=\frac{a-c}{2},
A_{1}L=|BA_{1}-BL|=\left|\frac{c}{2}-\frac{a}{2}\right|=\frac{a-c}{2}.
Следовательно, C_{1}K=A_{1}L
.
Источник: Агаханов Н. Х., Подлипский О. К. Муниципальные олимпиады Московской области. — М.: МЦНМО, 2019. — 2015, № 690, с. 162, 10 класс, задача 5
Источник: Кавказская математическая олимпиада. — 2015, I, 10 класс, задача 5