11641. В равностороннем треугольнике ABC
проведена высота AH
. Точки O
и R
— соответственно центр и середина меньшей дуги BC
описанной окружности этого треугольника. Окружность, проходящая через точки A
и B
и касающаяся прямой AH
, повторно пересекает прямую BC
в точке P
. Докажите, что прямая OB
делит отрезок PR
пополам.
Решение. Луч AO
— биссектриса угла BAC
, а R
— середина меньшей дуги BC
описанной окружности треугольника ABC
, поэтому прямая AO
проходит через точку R
. Из теоремы об угле между касательной и хордой (см. задачу 87) следует, что
\angle APC=\angle APB=\angle MAR=30^{\circ}=\angle OBC,
поэтому OB\parallel AP
.
Точка O
— центр окружности, поэтому O
— середина стороны AR
треугольника APR
, а так как OB\parallel AP
, то по теореме Фалеса точка пересечения прямой OB
с отрезком PR
— середина этого отрезка. Что и требовалось доказать.