11643. В прямоугольном треугольнике ABC
угол A
равен 30^{\circ}
. Вписанная в треугольник окружность с центром I
касается катетов AC
и BC
в точках B_{0}
и A_{0}
соответственно. Серединный перпендикуляр к гипотенузе AB
пересекает прямую A_{0}B_{0}
в точке L
. Докажите, что прямые AI
и CL
параллельны.
Решение. Пусть M
— середина гипотенузы AB
, а биссектриса BI
пересекает катет AC
в точке D
. Тогда
\angle ABD=\angle BAD=30^{\circ},
поэтому треугольник ABD
равнобедренный, DA=DB
. Значит, точка D
лежит на серединном перпендикуляре к гипотенузе AB
, т. е. на прямой ML
.
Пусть P
и Q
— точки на продолжениях катета IB_{0}
и гипотенузы ID
прямоугольного треугольника DB_{0}I
за точки B_{0}
и D
соответственно. Четырёхугольник CA_{0}IB_{0}
— квадрат, а треугольник ABD
равнобедренный, поэтому
\angle PB_{0}L=\angle DB_{0}L=45^{\circ},~\angle QDL=\angle IDM=\angle ADM=\angle B_{0}DL.
Значит, лучи B_{0}L
и DL
— биссектрисы внешних угол при вершинах B_{0}
и D
прямоугольного треугольника DB_{0}I
с углом 30^{\circ}
при вершине I
. Тогда IL
— биссектриса угла DIB_{0}
(см. задачу 1192), поэтому \angle LIB_{0}=15^{\circ}
.
Прямая A_{0}L
— серединный перпендикуляр к отрезку CI
, так как CA_{0}IB_{0}
— квадрат. Значит, треугольники CB_{0}L
и IB_{0}L
равны, так как они симметричны относительно прямой A_{0}L
. Тогда
\angle LCB_{0}=\angle LIB_{0}=15^{\circ}=\angle IAB_{0}.
Следовательно, AI\parallel CL
.