11655. Дан треугольник ABC
. На луче AB
отметили такую точку K
, что AK+KC=2AB
. На луче CB
отметили такую точку L
, что CL+LA=2CB
. Докажите, что биссектрисы углов ALC
и CKA
параллельны.
Решение. На продолжении стороны AB
за точку B
отложим отрезок BK'=AB
, а на продолжении стороны CB
за точку B
— отрезок BL'=CB
. Тогда диагонали AK'
и CL'
четырёхугольника ACK'L'
точкой B
пересечения делятся пополам. Значит, ACK'L'
— параллелограмм. Следовательно, CK'\parallel AL'
.
Треугольник CKK'
равнобедренный, так как
KK'=AK'-AK=2AB-AK=KC.
Биссектриса внешнего угла при вершине равнобедренного треугольника параллельна его основанию (см. задачу 1174), поэтому биссектриса угла CKA
параллельна CK'
. Аналогично, биссектриса угла ALC
параллельна AL'
, а так как CK'\parallel AL'
, то эти биссектрисы параллельны. Что и требовалось доказать.