11656. На стороне AB
равнобедренного треугольника ABC
с основанием AC
отметили точку K
так, что угол ACK
в четыре раза меньше угла B
. Докажите, что BC+BK=2BM
, где M
— середина стороны AC
.
Решение. На продолжении стороны AB
за точку B
отложим отрезок BT=AB
. Тогда CT
— средняя линия треугольника ACT
, поэтому CT=2BM
и CT\parallel BM
, а так как BM
— медиана, а значит, и высота равнобедренного треугольника ABC
, то CT\perp AC
. Отрезок CB
— медиана прямоугольного треугольника ACT
, проведённая из вершины прямого угла, поэтому CB=\frac{1}{2}AT=BT
(см. задачу 1109), т. е. треугольник CBT
равнобедренный.
Обозначим \angle ACK=\alpha
. Тогда
\angle ABC=4\alpha,~\angle ATC=\angle ABM=2\alpha,
\angle BCT=\angle BTC=2\alpha,
\angle KCT=90^{\circ}-\angle ACK=90^{\circ}-\alpha,
\angle CKT=180^{\circ}-\angle KTC-\angle KCT=
=180^{\circ}-2\alpha-(90^{\circ}-\alpha)=90^{\circ}-\alpha=\angle KCT.
Значит, треугольник CKT
равнобедренный, CT=CK
. Следовательно,
BC+BK=BT+BK=KT=CT=2BM.
Что и требовалось доказать.
Автор: Калинин Д. А.
Источник: Грибалко А. В., Медников Л. Э. XXI—XXII турниры математических боёв имени А. П. Савина. — М.: МЦНМО, 2020. — № 254, с. 35