11665. Дан квадрат ABCD
. Точка O
выбрана так, что \angle AOC=45^{\circ}
. Перпендикуляр, восстановленный к AO
в точке O
, пересекает прямую OC
в точке A_{1}
. Перпендикуляр, восстановленный к CO
в точке C
, пересекает прямую OA
в точке C_{1}
. Докажите, что на прямой A_{1}C_{1}
лежит одна из вершин квадрата.
Решение. Пусть точки O
и B
лежат по одну сторону от прямой AC
. Из точек A
и C
отрезок A_{1}C_{1}
виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром A_{1}C_{1}
. Четырёхугольник AA_{1}CC_{1}
вписанный, поэтому
\angle AC_{1}C=180^{\circ}-\angle AA_{1}C=\angle AA_{1}O=45^{\circ}.
Таким образом DA=DC
, \angle AC_{1}C=\frac{1}{2}\angle ADC
и точки C_{1}
и D
лежат по одну сторону от прямой AC
. Следовательно (см. задачу 2900), точка C_{1}
лежит на окружности с центром D
и радиусом DA=DC
, т. е. на описанной окружности треугольника AC_{1}C
, а так как A_{1}C_{1}
— диаметр этой окружности, вершина D
квадрата ABCD
лежит на прямой A_{1}C_{1}
. Что и требовалось доказать.
Автор: Мухин Д. Г.
Источник: Грибалко А. В., Медников Л. Э. XXI—XXII турниры математических боёв имени А. П. Савина. — М.: МЦНМО, 2020. — № 283, с. 38
Источник: Грибалко А. В., Медников Л. Э., Шаповалов А. В. XIX—XX турниры математических боёв имени А. П. Савина. — М.: МЦНМО, 2019. — № 309, с. 42