11666. В четырёхугольнике ABCD
сторона AB
равна диагонали AC
, \angle CBD=30^{\circ}
, \angle CDB=50^{\circ}
, \angle ADB=65^{\circ}
. Найдите угол ABD
.
Ответ. 35^{\circ}
.
Указание. Докажите, что точка A
лежит на описанной окружности треугольника BCD
.
Решение. Первый способ. Пусть O
— центр описанной окружности треугольника BCD
. Тогда, так как центральный угол вдвое больше соответствующего вписанного, то
\angle COD=2\angle CBD=60^{\circ},
поэтому равнобедренный треугольник COD
— равносторонний. Значит,
\angle CDO=60^{\circ},~\angle ADO=\angle ABC-\angle CDO=(50^{\circ}+65^{\circ})-60^{\circ}=55^{\circ}.
Точки A
и O
равноудалены от концов отрезка BC
, поэтому прямая AO
— серединный перпендикуляр к отрезку BC
. Значит, если M
— середина отрезка BC
, то AM
— высота равнобедренного треугольника ABC
. Из четырёхугольника AMCD
находим, что
\angle OAD=\angle MAD=360^{\circ}-\angle AMC-\angle MCD-\angle ADC=
=360^{\circ}-90^{\circ}-100^{\circ}-115^{\circ}=55^{\circ}=\angle ADO.
Значит, OA=OD
. Тогда точка A
лежит на описанной окружности треугольника BCD
, т. е. четырёхугольник ABCD
вписанный. Следовательно, вписанный угол ABD
равен половине центрального угла AOB
, т. е.
\angle ABD=\frac{1}{2}\angle AOB=\frac{1}{2}(180^{\circ}-2\cdot55^{\circ})=35^{\circ}.
Второй способ. Пусть прямая CD
и серединный перпендикуляр к стороне BC
пересекаются в точке E
. Тогда по теореме о внешнем угле треугольника
\angle BCE=\angle BDC+\angle CBD=50^{\circ}+30^{\circ}=80^{\circ},
а так как треугольник BCE
равнобедренный, то \angle CBE=80^{\circ}
и \angle BEC=20^{\circ}
.
Внешний угол при вершине D
треугольника BDE
равен
\angle DBE+\angle BED=(30^{\circ}+80^{\circ})+20^{\circ}=130^{\circ}=2\angle ADB,
значит, точка A
лежит на биссектрисе этого угла. В то же время, точка A
лежит на биссектрисе внутреннего угла при вершине D
треугольника BDE
, значит, BA
— биссектриса внешнего угла при вершине B
этого треугольника (см. задачу 1192). Следовательно,
\angle ABD=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle CBE-\angle CBD)=\frac{1}{2}(180^{\circ}-80^{\circ}-30^{\circ})=35^{\circ}.