11668. Может ли каждая из сторон выпуклого четырёхугольника быть пересечена биссектрисой некоторого его угла в точке, отличной от его вершины?
Ответ. Не может.
Решение. Предположим, что некоторого выпуклого четырёхугольника это возможно. Пусть O
— точка пересечения его диагоналей. Биссектриса угла A
может пересекать либо сторону BC
, либо сторону CD
. Пусть это сторона BC
(для стороны AC
рассуждения аналогичны). Тогда сторону CD
обязательно пересекает биссектриса угла B
, сторону DA
— биссектриса угла C
, а сторону AB
— биссектриса угла D
.
Первый способ. Биссектрисы углов A
, B
, C
, D
пересекают отрезки соответственно OB
, OC
, OD
, OA
. Пусть K
, L
, M
, N
— соответственные точки пересечения. По свойству биссектрисы треугольника (см. задачу 1509)
\frac{DA}{AB}=\frac{DK}{BK},~\frac{AB}{BC}=\frac{AL}{CL},~\frac{BC}{CD}=\frac{BM}{DM},~\frac{CD}{DA}=\frac{CN}{AN}.
Произведение левых частей этих равенств равно 1, в то время как
\frac{DK}{BK}\cdot\frac{AL}{CL}\cdot\frac{BM}{DM}\cdot\frac{CN}{AN}\gt\frac{DO}{BO}\cdot\frac{AO}{CO}\cdot\frac{BO}{DO}\cdot\frac{CO}{AO}=1
(так как DK\gt DO
и BK\lt BO
и т. д.). Противоречие.
Второй способ. Обозначим через h_{1}
, h_{2}
, h_{3}
, h_{4}
расстояния от точки O
до прямых DA
, AB
, BC
, CD
соответственно. Тогда из прямоугольных треугольников с общей гипотенузой OA
получаем, что h_{1}\lt h_{2}
, так как \angle CAD\lt\angle CAB
. Аналогично, h_{2}\lt h_{3}\lt h_{4}\lt h_{1}
. Противоречие.
Автор: Григорьева И. С.
Источник: Летний турнир им. А. П. Савина «Математика 6—8». — 2001, задача 4, первый тур, 6-8 класс
Источник: Грибалко А. В., Медников Л. Э. XXI—XXII турниры математических боёв имени А. П. Савина. — М.: МЦНМО, 2020. — № 286, с. 39