11669. В прямоугольном треугольнике биссектриса прямого угла делит гипотенузу в отношении 1:4
. В каком отношении делит гипотенузу высота, проведённая из вершины прямого угла?
Ответ. 1:16
.
Указание. См. задачи 1509 и 1946.
Решение. Из свойства биссектрисы треугольника (см. задачу 1509) следует, что катеты относятся как 1:4
, а так как проекции катетов на гипотенузу пропорциональны квадратам катетов (см. задачу 1946), то высота, проведённая из вершины прямого угла, делит гипотенузу в отношении 1:16
.
Источник: Грибалко А. В., Медников Л. Э. XXI—XXII турниры математических боёв имени А. П. Савина. — М.: МЦНМО, 2020. — № 287, с. 39