11670. Найдите стороны прямоугольного треугольника, если известно, что проекция одного катета на гипотенузу равна 6, а проекция другого катета на 1,5 меньше длины этого катета.
Ответ. \frac{9}{4}
, \frac{27}{4}
, \frac{9\sqrt{2}}{2}
.
Указание. См. задачу 1946.
Решение. Пусть проекция на гипотенузу катета, равного a
, равна a-\frac{3}{2}
. Тогда гипотенуза равна a-\frac{3}{2}+6=a+\frac{9}{2}
. Квадрат катета равен произведению всей гипотенузы на проекцию этого катета на гипотенузу (см. задачу 2728), т. е.
a^{2}=\left(a-\frac{3}{2}\right)\left(a+\frac{3}{2}\right),
откуда находим, что a=\frac{9}{4}
. Тогда гипотенуза равна
\frac{9}{4}+\frac{9}{2}=\frac{27}{4},
а квадрат второго катета равен \frac{27}{4}\cdot6
. Следовательно, второй катет равен
\sqrt{\frac{27}{4}\cdot6}=\frac{9\sqrt{2}}{2}.
Источник: Грибалко А. В., Медников Л. Э. XXI—XXII турниры математических боёв имени А. П. Савина. — М.: МЦНМО, 2020. — № 288, с. 39