11695. Вокруг квадрата ABCD
описана окружность. На меньшей дуге BC
взяли произвольную точку P
. Отрезок PA
пересекает сторону BC
в точке K
, а диагональ BD
в точке L
. Отрезок PD
пересекает сторону BC
в точке M
, а диагональ AC
в точке N
. Докажите, что NK\perp LM
.
Решение. Заметим, что
\angle APD=\angle APB=45^{\circ}
(каждый из этих углов опирается на четверть окружности). Также \angle CBD=45^{\circ}
.
Из точек B
и P
, лежащих по одну сторону от прямой LM
, отрезок LM
виден под одним и тем же углом, поэтому четырёхугольник BPML
вписанный (см. задачу 12). Тогда
\angle BML=\angle BPL=\angle BPA=\angle BCA=45^{\circ},
Значит, LM\parallel AC
. Аналогично, NK\parallel BD
. Следовательно, NK\parallel LM
.
Источник: Шаповалов А. В., Медников Л. Э. Как готовиться к математическим боям: 400 задач турниров имени А. П. Савина. — М.: МЦНМО, 2020. — № 241, с. 53