11706. Точка
M
принадлежит короткой дуге
AB
окружности, описанной около равнобедренного треугольника
ABC
. Точки
P
и
Q
симметричны точке
M
относительно боковых сторон
CA
и
CB
соответственно. Прямая
l
симметрична прямой
CM
относительно биссектрисы угла
ACB
. Докажите, что
l\perp PQ
.
Решение. Пусть биссектриса угла
ACB
и прямая
l
пересекают меньшую дугу
AB
в точках
K
и
N
соответственно. Можно считать, что
M
лежит на дуге
AK
. Обозначим
\angle ACK=\gamma
,
\angle ACM=\varphi
. Тогда
\angle PCA=\varphi,~\angle MCK=\gamma-\varphi,

а ввиду симметрии
\angle NCK=\gamma-\varphi,~\angle NCB=\varphi,

поэтому
\angle BCQ=\angle BCM=2\gamma-\varphi.

Теперь
\angle PCN=2\varphi+2(\gamma-\varphi)=2\gamma,~\angle QCN=(2\gamma-\varphi)+\varphi=2\gamma.

Поскольку
CP=CM=CQ
и
l
— биссектриса равнобедренного треугольника
PCQ
, получаем, что
l\perp PQ
.
Примечание. 1. Можно обойтись без подсчёта углов. Пусть
m
— биссектриса угла
ACB
. Прямая
l
получается из прямой
CP
композицией симметрий относительно прямых
CA
и
m
, т. е. поворотом на угол
ACB
—удвоенный угол между осями симметрии (см. задачу 5107). Таким образом, угол между прямыми
CP
и
l
равен углу
ACB
. Аналогично угол между прямыми
l
и
CQ
равен углу
ACB
. Следовательно,
l
— биссектриса угла при вершине равнобедренного треугольника
PCQ
.
2. Как видно из замечания 1, равнобедренность треугольника несущественна. Более того, несущественно и положение точки
M
— ею может быть любая точка плоскости, отличная от
C
.
Автор: Калинин Д. А.
Источник: Шаповалов А. В., Медников Л. Э. Как готовиться к математическим боям: 400 задач турниров имени А. П. Савина. — М.: МЦНМО, 2020. — № 257, с. 55