11706. Точка M
принадлежит короткой дуге AB
окружности, описанной около равнобедренного треугольника ABC
. Точки P
и Q
симметричны точке M
относительно боковых сторон CA
и CB
соответственно. Прямая l
симметрична прямой CM
относительно биссектрисы угла ACB
. Докажите, что l\perp PQ
.
Решение. Пусть биссектриса угла ACB
и прямая l
пересекают меньшую дугу AB
в точках K
и N
соответственно. Можно считать, что M
лежит на дуге AK
. Обозначим \angle ACK=\gamma
, \angle ACM=\varphi
. Тогда
\angle PCA=\varphi,~\angle MCK=\gamma-\varphi,
а ввиду симметрии
\angle NCK=\gamma-\varphi,~\angle NCB=\varphi,
поэтому
\angle BCQ=\angle BCM=2\gamma-\varphi.
Теперь
\angle PCN=2\varphi+2(\gamma-\varphi)=2\gamma,~\angle QCN=(2\gamma-\varphi)+\varphi=2\gamma.
Поскольку CP=CM=CQ
и l
— биссектриса равнобедренного треугольника PCQ
, получаем, что l\perp PQ
.
Примечание. 1. Можно обойтись без подсчёта углов. Пусть m
— биссектриса угла ACB
. Прямая l
получается из прямой CP
композицией симметрий относительно прямых CA
и m
, т. е. поворотом на угол ACB
—удвоенный угол между осями симметрии (см. задачу 5107). Таким образом, угол между прямыми CP
и l
равен углу ACB
. Аналогично угол между прямыми l
и CQ
равен углу ACB
. Следовательно, l
— биссектриса угла при вершине равнобедренного треугольника PCQ
.
2. Как видно из замечания 1, равнобедренность треугольника несущественна. Более того, несущественно и положение точки M
— ею может быть любая точка плоскости, отличная от C
.
Автор: Калинин Д. А.
Источник: Шаповалов А. В., Медников Л. Э. Как готовиться к математическим боям: 400 задач турниров имени А. П. Савина. — М.: МЦНМО, 2020. — № 257, с. 55