11709. Отрезки AA_{1}
и CC_{1}
— высоты треугольника ABC
. Серединный перпендикуляр к стороне AB
пересекает прямую AA_{1}
в точке M
. Докажите, что прямая BM
перпендикулярна одной из медиан треугольника CC_{1}B
.
Решение. Первый способ. Угол ABC
не прямой (иначе не получится треугольник CC_{1}B
), значит, он острый (рис. 1) или тупой (рис. 2). Тогда перпендикуляр, проведённый к стороне AB
в её середине K
, пересекает прямую BC
в некоторой точке N
. Треугольник ABN
равнобедренный с основанием AB
, так как точка N
лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AB
.
Пусть C_{1}L
— медиана треугольника CC_{1}B
. Треугольник BLC_{1}
тоже равнобедренный (см. задачу 1109). Поскольку \angle C_{1}BL=\angle ABN
(последние два угла либо совпадают, если угол ABC
острый, либо вертикальны, если он тупой), то равны и два других угла при основаниях равнобедренных треугольников BAN
и BC_{1}L
, т. е. \angle BAN=\angle BC_{1}L
. В обоих рассматриваемых случаях взаимного расположения упомянутых треугольников прямые AN
и C_{1}L
параллельны.
В треугольнике ABN
высоты лежат на прямых KN
и AM
, пересекающихся в точке M
. Тогда третья высота лежит на BM
и перпендикулярна AN
. Следовательно, BM\perp C_{1}L
. Что и требовалось доказать.
Второй способ. Воспользуемся двумя очевидными свойствами симметрии.
1. Симметрия сохраняет углы между прямыми.
2. Прямые l_{m}
и l_{n}
, симметричные прямой l
относительно параллельных прямых m
и n
, параллельны.
В нашем случае m
и n
— серединные перпендикуляры к отрезкам AB
и C_{1}B
соответственно, l
— прямая BC
.
Пусть L
— середина BC
. Точки B
и C_{1}
симметричны относительно прямой n
, а точка L
лежит на прямой n
, поэтому прямая C_{1}L
— это l_{n}
. С другой стороны, прямые AM
и BL
(т. е. l
) перпендикулярны, значит, симметричные им относительно m
прямые BM
и l_{m}
тоже перпендикулярны. Но l_{n}\parallel l_{m}
, значит, C_{1}L\perp BM
.
Примечание. По существу, первое решение является переводом техничного второго решения на язык, понятный семиклассникам.
Автор: Швецов Д. В.
Источник: Шаповалов А. В., Медников Л. Э. Как готовиться к математическим боям: 400 задач турниров имени А. П. Савина. — М.: МЦНМО, 2020. — № 260, с. 56