11724. Пусть AA_{1}
, BB_{1}
и CC_{1}
— биссектрисы треугольника ABC
, \angle B=120^{\circ}
. Из точки C_{1}
проведён перпендикуляр к прямой AA_{1}
, а из точки A_{1}
— перпендикуляр к CC_{1}
; эти перпендикуляры пересекли прямую AC
в точках C_{2}
и A_{2}
соответственно. Докажите, что B_{1}
— середина отрезка A_{2}C_{2}
.
Решение. Пусть I
— точка пересечения биссектрис. Тогда по теореме о внешнем угле треугольника
\angle AIC_{1}=\frac{1}{2}\angle A+\frac{1}{2}\angle C=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle B)=30^{\circ}.
Точка C_{2}
симметрична точке C_{1}
относительно прямой AI
, поэтому угол AIC_{2}
также равен 30^{\circ}
. Значит,
\angle IC_{2}B_{1}=\frac{1}{2}\angle A+30^{\circ}.
С другой стороны, по теореме о внешнем угле треугольника
\angle C_{2}IB_{1}=\angle AIB_{1}-\angle AIC_{2}=\frac{1}{2}\angle A+\frac{1}{2}\angle B-30^{\circ}=
=\frac{1}{2}\angle A+60^{\circ}-30^{\circ}\frac{1}{2}\angle A+30^{\circ}.
Следовательно, треугольник C_{2}B_{1}I
равнобедренный, C_{2}B_{1}=IB_{1}
. Аналогично A_{2}B_{1}=IB_{1}
.
Примечание. Из свойства биссектрисы (см. задачу 1509) можно выразить длины отрезков AC_{2}=AC_{1}
, CA_{2}=CA_{1}
, AB_{1}
, CB_{1}
через длины сторон a
, b
и c
треугольника. Но чтобы убедиться в равенстве
AB_{1}-AC_{2}=CB_{1}-CA_{2},
потребуется ещё теорема косинусов: b^{2}=a^{2}+c^{2}+ac
.
Автор: Швецов Д. В.
Источник: Шаповалов А. В., Медников Л. Э. XVII турнир математических боёв имени А. П. Савина. — М.: МЦНМО, 2012. — № 169, с. 43