1173. Два угла треугольника равны 10^{\circ}
и 70^{\circ}
. Найдите угол между высотой и биссектрисой, проведёнными из вершины третьего угла треугольника.
Ответ. 30^{\circ}
.
Указание. Воспользуйтесь теоремой о сумме внутренних углов треугольника.
Решение. Решим задачу в общем случае. Пусть углы B
и C
треугольника ABC
равны \beta
и \gamma
соответственно, причём \beta\gt\gamma
. Пусть также AH
— высота, а AL
— биссектриса треугольника. Докажем, что \angle HAL=\frac{1}{2}(\beta-\gamma)
.
Действительно,
\angle HAL=\angle BAL-\angle BAH=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\beta-\gamma)-(90^{\circ}-\beta)=\frac{1}{2}(\beta-\gamma).
Если \beta=70^{\circ}
и \gamma=10^{\circ}
, то
\angle HAL=\frac{1}{2}(\beta-\gamma)=\frac{1}{2}(70^{\circ}-10^{\circ})=30^{\circ}.
Примечание. Более общее утверждение: угол между высотой и биссектрисой треугольника, проведёнными из одной вершины, равен модулю полуразности двух других углов треугольника (см. задачу 1106).