11742. В треугольнике ABC
с углом B
, равным 60^{\circ}
, серединные перпендикуляры к сторонам AB
и BC
пересекают биссектрису угла B
в точках X
и Y
соответственно. Известно, что X
— середина BY
. Найдите остальные углы треугольника ABC
.
Ответ. \angle A=90^{\circ}
, \angle C=30^{\circ}
.
Решение. Точка X
лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AB
, поэтому, что AX=BX=XY
. Значит, треугольник ABY
прямоугольный (см. задачу 1188), причём \angle AYB=60^{\circ}
. Треугольник BYC
равнобедренный с углом при основании 30^{\circ}
, следовательно, \angle BYC=120^{\circ}
. Таким образом,
\angle AYB+\angle BYC=60^{\circ}+120^{\circ}=180^{\circ},
поэтому точка Y
лежит на отрезке AC
. Значит,
\angle A=\angle BAY=90^{\circ}~\mbox{и}~\angle C=180^{\circ}-\angle A-\angle B=30^{\circ}.
Автор: Ефремов Р.
Источник: Грибалко А. В., Медников Л. Э., Шаповалов А. В. XIX—XX турниры математических боёв имени А. П. Савина. — М.: МЦНМО, 2019. — № 259, с. 36