11749. Биссектрисы AA_{1}
и CC_{1}
треугольника ABC
пересекаются в точке I
. Точки A_{0}
и C_{0}
— середины сторон BC
и BA
соответственно. Прямая A_{0}C_{0}
пересекает прямые AA_{1}
и CC_{1}
в точках A_{2}
и C_{2}
. Докажите, что ортоцентр треугольника A_{2}IC_{2}
лежит на прямой AC
.
Решение. Отрезок A_{0}C_{0}
— средняя линия треугольника ABC
, поэтому,
A_{0}C_{0}\parallel AC~\mbox{и}~\angle C_{0}AA_{2}=\angle CAA_{2}=\angle C_{0}A_{2}A.
Значит, C_{0}A_{2}=C_{0}A=C_{0}B
, поэтому треугольник AA_{2}B
прямоугольный, BA_{2}\perp AA_{2}
(см. задачу 1109). Аналогично BC_{2}\perp CC_{2}
.
Пусть H
— ортоцентр треугольника A_{2}IC_{2}
. Тогда A_{2}H\parallel BC_{2}
и C_{2}H\parallel BA_{2}
, значит, BA_{2}HC_{2}
— параллелограмм. Тогда отрезок BH
делится прямой A_{2}C_{2}
пополам, а так как прямая A_{2}C_{2}
содержит среднюю линию треугольника ABC
, точка H
лежит на AC
. Что и требовалось доказать.
Автор: Швецов Д. В.
Источник: Грибалко А. В., Медников Л. Э., Шаповалов А. В. XIX—XX турниры математических боёв имени А. П. Савина. — М.: МЦНМО, 2019. — № 266, с. 37