11750. Стороны AB
и BC
треугольника ABC
равны 1 и 2 соответственно, \angle ABC=120^{\circ}
. Докажите, что медиана BD
перпендикулярна стороне AB
.
Решение. Первый способ. На продолжении медианы BD
за точку D
отложим отрезок DE=BD
. Тогда ABCE
— параллелограмм, поэтому
\angle BCE=180^{\circ}-\angle ABC=60^{\circ}.
Пусть F
— середина BC
. Тогда CE=AB=CF
, и треугольник CDF
равносторонний. Значит, EF=FB
, а так как \angle EFB=120^{\circ}
, то угол FBE
при основании равнобедренного треугольника BEF
равен 30^{\circ}
. Следовательно,
\angle ABD=\angle ABC-\angle FBE=120^{\circ}-30^{\circ}=90^{\circ}.
Второй способ. На продолжении медианы BD
за точку D
отложим отрезок DE=BD
. Тогда ABCE
— параллелограмм, поэтому
CE=AB=1,~\angle BCE=180^{\circ}-\angle ABC=60^{\circ}.
В треугольнике BCE
сторона BC
вдвое больше стороны CE
, а \angle BCE=60^{\circ}
. Значит, этот треугольник прямоугольный с прямым углом при вершине E
(см. задачу 2643). Следовательно,
\angle ABD=\angle ABE=\angle BEC=90^{\circ}.
Третий способ (для школьников 9-11 класса). Обозначим \overrightarrow{BA}=\overrightarrow{a}
, \overrightarrow{BC}=\overrightarrow{c}
, \overrightarrow{BD}=\overrightarrow{m}
. Тогда
\overrightarrow{m}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c})
(см. задачу 4500).
Докажем, что скалярное произведение векторов \overrightarrow{m}
и \overrightarrow{a}
равно нулю. Действительно,
\overrightarrow{m}\overrightarrow{a}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c})\overrightarrow{a}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{a}^{2}+\overrightarrow{a}\overrightarrow{c})=
=\frac{1}{2}(1+1\cdot2\cdot\cos120^{\circ})=\frac{1}{2}\left(1+1\cdot2\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)\right)=0.
Значит, векторы \overrightarrow{BD}
и \overrightarrow{BA}
перпендикулярны. Следовательно, перпендикулярны прямые BD
и BA
.