11751. Углы, прилежащие к одной из сторон треугольника, равны 15^{\circ}
и 30^{\circ}
. Какой угол образует с этой стороной проведённая к ней медиана?
Ответ. 45^{\circ}
.
Решение. Пусть ABC
— данный треугольник, \angle A=15^{\circ}
, \angle C=30^{\circ}
, BM
— его медиана.
Отметим на луче CB
такую точку D
, что \angle CAD=30^{\circ}
. Тогда треугольник ADC
равнобедренный с основанием AC
. В нём медиана DM
является высотой и биссектрисой, поэтому
\angle MDA=\angle MDC=60^{\circ}.
Заметим, что B
— точка пересечения биссектрисы угла MAD
и биссектрисы внешнего угла при вершине D
треугольника MAD
. Значит, она лежит и на биссектрисе внешнего угла при вершине M
этого треугольника (см. задачу 1192), т. е. на биссектрисе прямого угла DMC
. Следовательно,
\angle BMC=\frac{1}{2}\angle DMC=45^{\circ}.
Автор: Волчкевич М. А.
Источник: Грибалко А. В., Медников Л. Э., Шаповалов А. В. XIX—XX турниры математических боёв имени А. П. Савина. — М.: МЦНМО, 2019. — № 268, с. 37