11752. На боковых сторонах AB
и BC
равнобедренного треугольника ABC
взяли соответственно такие точки M
и N
, что AC=CM
и MN=NB
. Высота треугольника, проведённая из вершины B
, пересекает отрезок CM
в точке H
. Докажите, что NH
— биссектриса угла MNC
.
Решение. Треугольники ACM
и MNB
равнобедренные, следовательно,
\angle AMC=\angle A~\mbox{и}~\angle BMN=\angle B.
Значит,
\angle CMN=180^{\circ}-\angle AMC-\angle BMN=180^{\circ}-\angle A-\angle B=\angle A=\angle AMC.
Таким образом, H
— точка пересечения биссектрис угла B
и внешнего угла при вершине M
треугольника MNB
. Следовательно, точка H
лежит на биссектрисе внешнего угла при вершине N
(см. задачу 1192). Что и требовалось доказать.
Автор: Калинин Д. А.
Источник: Грибалко А. В., Медников Л. Э., Шаповалов А. В. XIX—XX турниры математических боёв имени А. П. Савина. — М.: МЦНМО, 2019. — № 269, с. 37