11754. На стороне AB
треугольника ABC
выбраны точки A_{1}
и A_{2}
на одинаковом расстоянии от вершин A
и B
, а на стороне BC
— точки C_{1}
и C_{2}
на одинаковом расстоянии от вершин B
и C
(отрезки A_{1}C_{1}
и A_{2}C_{2}
пересекаются). Пусть M
, M_{1}
, M_{2}
— середины отрезков AC
, A_{1}C_{1}
, A_{2}C_{2}
соответственно. Докажите, что отрезок BM
делит отрезок M_{1}M_{2}
пополам.
Решение. Первый способ. Проведём среднюю линию KL
данного треугольника, параллельную AC
. Из условия следует, что K
— середина отрезка A_{1}A_{2}
, поэтому KM_{2}
— средняя линия треугольника A_{1}A_{2}C_{2}
. Значит, KM_{2}\parallel A_{1}C_{2}
и KM_{2}=\frac{1}{2}A_{1}C_{2}
. Аналогично LM_{1}
— средняя линия треугольника A_{1}C_{1}C_{2}
, поэтому LM_{1}\parallel A_{1}C_{2}
и LM_{1}=\frac{1}{2}A_{1}C_{2}
. Таким образом, KM_{2}\parallel LM_{1}
и KM_{2}=LM_{1}
, т. е. M_{1}KM_{2}L
— параллелограмм. Тогда отрезки M_{1}M_{2}
и KL
точкой P
их пересечения делятся пополам. Но медиана BM
треугольника ABC
делит пополам отрезок KL
, а значит, содержит точку P
. Следовательно, BM
делит пополам отрезок M_{1}M_{2}
. Что и требовалось доказать.
Второй способ. Заметим, что
\overrightarrow{BM_{1}}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{BA_{1}}+\overrightarrow{BC_{1}}),~\overrightarrow{BM_{2}}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{BA_{2}}+\overrightarrow{BC_{2}})
(см. задачу 4500).
Пусть P
— середина отрезка M_{1}M_{2}
. Тогда
\overrightarrow{BP}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{BM_{1}}+\overrightarrow{BM_{2}})=\frac{1}{4}(\overrightarrow{BA_{1}}+\overrightarrow{BA_{2}}+\overrightarrow{BC_{1}}+\overrightarrow{BC_{2}}).
Кроме того,
\overrightarrow{BA_{1}}+\overrightarrow{BA_{2}}=\overrightarrow{BA}~\mbox{и}~\overrightarrow{BC_{1}}+\overrightarrow{BC_{2}}=\overrightarrow{BC},
поэтому
\overrightarrow{BP}=\frac{1}{4}(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC})=\frac{1}{2}\overrightarrow{BM},
что равносильно утверждению задачи.
Примечание. Утверждение остаётся верным и в случае, когда отрезки A_{1}C_{1}
и A_{2}C_{2}
не пересекаются, но не лежат на параллельных прямых (это видно из второго способа решения). Если же прямые A_{1}C_{1}
и A_{2}C_{2}
параллельны, то точки B
, M
, M_{1}
и M_{2}
лежат на одной прямой.
Автор: Зайцева Ю. И.
Автор: Соколов А. А.
Источник: Грибалко А. В., Медников Л. Э., Шаповалов А. В. XIX—XX турниры математических боёв имени А. П. Савина. — М.: МЦНМО, 2019. — № 271, с. 37