11760. К двум равным окружностям с центрами O_{1}
и O_{2}
проведены две общие внешние касательные и одна общая внутренняя, которая пересекла внешние в точках A
и B
. Докажите, что AB=O_{1}O_{2}
.
Решение. Первый способ. Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе угла, поэтому AO_{1}
и AO_{2}
— биссектрисы смежных углов. Значит, \angle O_{1}AO_{2}=90^{\circ}
. Кроме того, из параллельности общих внешних касательных следует параллельность биссектрис AO_{2}
и BO_{1}
. Значит, прямоугольные треугольники AO_{1}O_{2}
и BO_{2}O_{1}
равны по гипотенузе и острому углу. Тогда AO_{1}BO_{2}
— прямоугольник. Следовательно, его диагонали AB
и O_{1}O_{2}
равны.
Второй способ. Пусть одна из внешних касательных касается данных окружностей в точках P
и Q
, а внутренняя — в точках R
и S
соответственно (точка P
на окружности с центром O_{1}
, точка B
на отрезке PQ
). Из симметрии следует, что AR=BS
. Тогда
AB=BR+AR=BR+BS=BP+BQ=PQ=O_{1}O_{2},
так как PO_{1}O_{2}Q
— прямоугольник.
Примечание. Для любых двух непересекающихся окружностей длина отрезка AB
равна длине общей внешней касательной (см. задачу 4805). В случае равных окружностей длина общей внешней касательной, очевидно, равна O_{1}O_{2}
.
Автор: Волчкевич М. А.
Источник: Грибалко А. В., Медников Л. Э., Шаповалов А. В. XIX—XX турниры математических боёв имени А. П. Савина. — М.: МЦНМО, 2019. — № 278, с. 38