11761. К двум непересекающимся окружностям \omega_{1}
и \omega_{2}
проведены общая внешняя и общая внутренняя касательные. Обозначим через A
и B
точки касания внешней касательной, а через C
и D
— точки касания внутренней касательной с окружностями \omega_{1}
и \omega_{2}
соответственно. Окружность, проходящая через точки A
, B
и C
, вторично пересекает окружность \omega_{2}
в точке E
. Найдите угол CED
.
Ответ. 90^{\circ}
.
Решение. Пусть касательные пересекаются в точке K
. Треугольник AKC
равнобедренный, поэтому прямая AC
перпендикулярна биссектрисе угла AKC
. Аналогично прямая BD
перпендикулярна биссектрисе угла BKD
. Эти биссектрисы перпендикулярны как биссектрисы смежных углов, поэтому и AC\perp BD
.
Пусть прямая CE
повторно пересекает окружность \omega_{2}
в точке F
. Отметим на продолжении отрезка AB
за точку B
точку T
. Тогда по теореме об угле между касательной и хордой (см. задачу 87) \angle FBT=\angle BEF
, а так как четырёхугольник ABEC
вписанный, то \angle BEF=\angle CAB
. Значит, \angle FBT=\angle CAB
, поэтому BF\parallel AC
.
Поскольку AC\perp BD
, то \angle FBD=90^{\circ}
, поэтому DF
— диаметр окружности \omega_{2}
. Тогда \angle FED=90^{\circ}
. Следовательно, \angle CED=90^{\circ}
.