11768. Через внутреннюю точку D
стороны AB
треугольника ABC
проведены прямые, параллельные сторонам AC
и BC
, которые пересекают их в точках E
и F
. Оказалось, что ABEF
— вписанный четырёхугольник. Докажите, что описанная окружность треугольника DEF
касается стороны AB
.
Решение. Прямые DE
и AC
параллельны, поэтому \angle BDE=\angle BAC
, а так как четырёхугольник ABEF
вписанный, то \angle BAC=\angle CEF
. Из параллельности DF
и BC
получаем, что \angle CEF=\angle DFE
. Значит, \angle BDE=\angle DFE
. Следовательно, DB
— касательная к описанной окружности треугольника DEF
(см. задачу 144). Что и требовалось доказать.