11769. Вписанная окружность равнобедренного треугольника ABC
касается боковых сторон AB
и BC
в точках C_{1}
и A_{1}
соответственно. Прямая AA_{1}
повторно пересекает вписанную окружность в точке A_{0}
. Докажите, что описанная окружность треугольника AA_{0}C_{1}
касается прямой AC
.
Решение. Очевидно, что A_{1}C_{1}\parallel AC
, а так как AC_{1}A_{0}
— угол между касательной AC_{1}
к вписанной окружности треугольника ABC
и хордой A_{0}C_{1}
, то
\angle A_{1}AC=\angle AA_{1}C_{1}=\angle AC_{1}A_{0}.
Тогда из теоремы, обратной теореме об угле между касательной и хордой (см. задачу 144), следует, что AC
— касательная к описанной окружности треугольника AA_{0}C_{1}
.
Автор: Швецов Д. В.
Источник: Грибалко А. В., Медников Л. Э., Шаповалов А. В. XIX—XX турниры математических боёв имени А. П. Савина. — М.: МЦНМО, 2019. — № 288, с. 39