11770. Вписанная окружность прямоугольного треугольника ABC
касается катетов AC
и BC
в точках B_{1}
и A_{1}
соответственно. Прямая AA_{1}
пересекает вписанную окружность в точке A_{0}
. Докажите, что центр описанной окружности треугольника AA_{0}B_{1}
лежит на прямой A_{1}B_{1}
.
Решение. Пусть O
— точка пересечения прямой A_{1}B_{1}
и серединного перпендикуляра к отрезку AB_{1}
. Докажем, что O
— центр описанной окружности треугольника AA_{0}B_{1}
.
Действительно, в равнобедренном треугольнике AB_{1}O
угол при основании AB_{1}
равен 45^{\circ}
, так как треугольник A_{1}B_{1}C
равнобедренный и прямоугольный, значит, треугольник AB_{1}O
также прямоугольный. Кроме того, по теореме об угле между касательной и хордой
\angle A_{1}A_{0}B_{1}=\angle B_{1}A_{1}C=45^{\circ},
поэтому \angle AA_{0}B_{1}=135^{\circ}
. Следовательно, окружность с центром O
, проходящая через точки A
и B_{1}
, проходит также и через точку A_{0}
(см. задачу 2900).
Автор: Швецов Д. В.
Источник: Грибалко А. В., Медников Л. Э., Шаповалов А. В. XIX—XX турниры математических боёв имени А. П. Савина. — М.: МЦНМО, 2019. — № 289, с. 39