11787. Равносторонние треугольники
ABC
и
DEF
расположены так, как показано на рисунке, причём отмеченные углы равны. Докажите, что центры этих треугольников совпадают.

Решение. Лемма. Если вершины
X
,
Y
и
Z
равностороннего треугольника
XYZ
лежат на сторонах соответственно
LM
,
MK
и
KL
равностороннего треугольника
KLM
, то центры эти треугольников совпадают (рис. 1).
Доказательство. Треугольники
KZY
,
LXZ
и
MYX
равны по стороне (
ZY=XZ=YX
) и двум прилежащим к ней углам, поэтому
KZ=LX=MY
. Значит, точки
X
,
Y
и
Z
делят стороны треугольника
KLM
в одном и том же отношении. Следовательно, центры треугольников
KLM
и
XYZ
совпадают (см. задачу 4512). Лемма доказана.
Вернёмся к нашей задаче (рис. 2). Пусть прямые
BE
и
CF
пересекаются в точке
P
, прямые
CF
и
AD
— в точке
Q
, а прямые
AD
и
BE
— в точке
R
. Тогда по теореме о внешнем угле треугольника
\angle QPR=\angle QCB-\angle CBP=\angle QCB-\angle QCA=\angle ACB=60^{\circ}.

Аналогично для других углов треугольника
PQR
. Значит, треугольник
PQR
равносторонний, и по лемме его центр совпадает с центром равностороннего треугольника
DEF
. В то же время, по той же лемме центр треугольника
ABC
совпадает с центром
PQR
. Отсюда следует утверждение задачи.


Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 1983, № 6, задача 745 (1982, с. 136), с. 187