4512. На сторонах треугольника заданы точки, которые делят стороны в одном и том же отношении (в каком-либо одном направлении обхода). Докажите, что точки пересечения медиан данного треугольника и треугольника, имеющего вершинами точки деления, совпадают.
Указание. Если M
и N
— точки пересечения медиан треугольников ABC
и PQR
, то \overrightarrow{MN}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{BQ}+\overrightarrow{CR})
.
Решение. Пусть точки P
, Q
, R
принадлежат сторонам соответственно AB
, BC
, AC
треугольника ABC
, причём \frac{AP}{PB}=\frac{BQ}{QC}=\frac{CR}{RA}=k
. Если M
и N
— точки пересечения медиан треугольников ABC
и PQR
соответственно, то (см. задачу 4507)
\overrightarrow{MN}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{BQ}+\overrightarrow{CR})=
=\frac{1}{3}\left(\frac{k}{k+1}\overrightarrow{AB}+\frac{k}{k+1}\overrightarrow{BC}+\frac{k}{k+1}\overrightarrow{CA}\right)=
=\frac{k}{3(k+1)}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA})=\frac{k}{3(k+1)}\cdot\overrightarrow{0}=\overrightarrow{0}.
Следовательно, точки M
и N
совпадают.