11790. Внутри параллелограмма ABCD
взята такая точка P
, что \angle ABP=\angle ADP
. Докажите, что \angle APB+\angle CPD=180^{\circ}
.
Решение. Построим параллелограмм BCQP
. Тогда PQ=BC=AD
и PQ\parallel BC\parallel AD
, поэтому APQD
тоже параллелограмм. Четырёхугольник DPCQ
вписанный, так как
\angle DPQ=\angle ADP=\angle ABP=\angle DCQ.
Следовательно,
\angle APB+\angle CPD=\angle DQC+\angle CPD=180^{\circ}.
Примечание. Верно и обратное: если точка P
внутри параллелограмма ABCD
такова, что \angle APB+\angle CPD=180^{\circ}
, то \angle ABP=\angle ADP
(см. задачу 10268).
Автор: Произволов В. В.
Источник: Грибалко А. В., Медников Л. Э., Шаповалов А. В. XIX—XX турниры математических боёв имени А. П. Савина. — М.: МЦНМО, 2019. — № 313, с. 42