10268. Внутри параллелограмма ABCD
выбрана точка P
так, что \angle APB+\angle CPD=180^{\circ}
. Докажите, что \angle PBC=\angle PDC
.
Решение. Пусть при параллельном переносе на вектор \overrightarrow{BC}
точка P
переходит в некоторую точку Q
. Тогда \angle CQP=\angle PBC
и \angle DQC=\angle APB
, поэтому \angle DQC+\angle CPD=180^{\circ}
. Значит, около четырёхугольника CPDQ
можно описать окружность (см. задачу 49). Вписанные в эту окружность углы CQP
и PDC
опираются на одну и ту же дугу. Следовательно,
\angle PDC=\angle CQP=\angle PBC.
Примечание. Верно и обратное: если точка P
внутри параллелограмма ABCD
такова, что \angle ABP=\angle ADP
, то \angle APB+\angle CPD=180^{\circ}
(см. задачу 11790).
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 1997, № 5, задача 4, с. 266
Источник: Канадские математические олимпиады. — 1997, задача 4
Источник: Московская математическая регата. — 2015-2016, третий тур, № 2, 9 класс