11791. Пусть ABCD
— выпуклый четырёхугольник, в котором \angle ABD=\angle CDB=60^{\circ}
, \angle ACB=\angle CAD=30^{\circ}
. Найдите BD
, если AB=2
.
Ответ. 2 или 4.
Решение. Из условия задачи следует, что AB\parallel CD
и AD\parallel BC
, значит, ABCD
— параллелограмм. Отложим на луче BD
отрезок BO=AB
. Тогда треугольник AOB
равносторонний, поэтому BO=AB=2
.
Если точка O
совпадает с центром параллелограмма, то BD=2BO=4
.
Пусть точка O
не совпадает с центром параллелограмма. Поскольку OA=OB
, \angle ACB=\frac{1}{2}\angle AOB
, а точки O
и C
лежат по одну сторону от прямой AB
, то точка C
лежит на окружности с центром O
(см. задачу 2900). Тогда OC=OA
, т. е. точка O
равноудалена от концов отрезка AC
. Центр параллелограмма также равноудалён от концов диагонали AC
и отличен от O
, значит, прямая BD
, содержащая эти точки, — серединный перпендикуляр к AC
. Тогда BA=BC
, поэтому ABCD
— ромб. Его острый угол равен 60^{\circ}
, следовательно, BD=AB=2
.
Источник: Грибалко А. В., Медников Л. Э., Шаповалов А. В. XIX—XX турниры математических боёв имени А. П. Савина. — М.: МЦНМО, 2019. — № 314, с. 42