11792. Серединный перпендикуляр к стороне AB
вписанного четырёхугольника ABCD
пересекает диагональ AC
в точке P
. Серединный перпендикуляр к стороне CD
пересекает диагональ BD
в точке Q
. Докажите, что прямые PQ
и AD
параллельны.
Решение. Рассмотрим случай, изображённый на рисунке.
Четырёхугольник ABCD
вписанный, а треугольники ABP
и DCQ
равнобедренные, поэтому
\angle ABP=\angle BAP=\angle CDQ=\angle DCQ.
Углы BPC
и CQB
— внешние для треугольников ABP
и DCQ
соответственно, значит,
\angle BPC=\angle ABP+\angle BAP=\angle DCQ+\angle CDQ=\angle CQB.
Следовательно, точки B
, C
, Q
, P
лежат на одной окружности (см. задачу 12), и \angle CBQ=\angle CPQ
. Но \angle CBQ=\angle CAD
, поэтому \angle CPQ=\angle CAD
, откуда PQ\parallel AD
.
Аналогично для любого другого случая.