11793. Окружность с центром O_{1}
касается сторон AB
, BC
, AD
трапеции ABCD
(AD\parallel BC
) в точках K
, L
, M
соответственно, а окружность с центром O_{2}
касается сторон CD
, BC
, AD
в точках X
, Y
, Z
соответственно. Прямые KL
и XY
пересекаются в точке P
, а прямые KM
и XZ
— в точке Q
. Докажите, что O_{1}R=O_{2}R
, где R
— середина отрезка PQ
.
Решение. Отрезок LM
— диаметр первой окружности, поэтому \angle LKM=90^{\circ}
. Значит, треугольник PKQ
прямоугольный, а KR=\frac{1}{2}PQ
(см. задачу 1109). Отсюда также следует, что \angle RKP=\angle RPK
. Кроме того, \angle O_{1}KL=\angle O_{1}LK
, поэтому
\angle O_{1}KR=|\angle O_{1}KL-\angle RKP|=|\angle O_{1}LK-\angle RPK|.
Полученная разность равна углу между прямыми PQ
и LM
. Аналогично угол O_{2}XR
равен углу между прямыми PQ
и YZ
.
Треугольники RKO_{1}
и RXO_{2}
(возможно, вырожденные) равны по двум сторонам и углу между ними, так как O_{1}K=O_{2}X
(как радиусы равных окружностей), RK=RX=\frac{1}{2}PQ
и \angle O_{1}KR=\angle O_{2}XR
(оба они равны углу между прямой PQ
и высотой трапеции). Следовательно, O_{1}R=O_{2}R
. Что и требовалось доказать.