11804. В треугольнике ABC
известно, что \angle C=90^{\circ}
, \angle B=60^{\circ}
. Медиана CM
пересекает вписанную окружность в точках P
и Q
. Докажите, что PM=CQ
.
Решение. Медиана прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы (см. задачу 1109), поэтому CM=\frac{1}{2}AB=BM
. Значит, треугольник BMC
равнобедренный, а так как \angle B=60^{\circ}
, то он равносторонний. Тогда BM=CN
.
Пусть I
— центр вписанной окружности треугольника ABC
. Тогда прямая BM
— ось симметрии как треугольника CBM
, так и вписанной окружности (см. задачу 1677). Значит, отрезки PM
и CQ
симметричны относительно прямой BM
. Следовательно, они равны.
Автор: Швецов Д. В.
Источник: Грибалко А. В., Медников Л. Э., Шаповалов А. В. XIX—XX турниры математических боёв имени А. П. Савина. — М.: МЦНМО, 2019. — № 331, с. 45