11823. Дан квадрат ABCD
. В плоскости квадрата взята точка M
, для которой BM=CM
и \angle AMB=75^{\circ}
. Найдите угол BMC
.
Ответ. 150^{\circ}
или 60^{\circ}
.
Указание. См. задачу 1041.
Решение. Точка M
равноудалена от концов отрезка BC
, значит, она лежит на серединном перпендикуляре к отрезку BC
, т. е. на прямой, проходящей через середины сторон BC
и AD
данного квадрата. Из точки M
, лежащей на этой прямой, отрезок AB
виден под углом 75^{\circ}
, значит, точка M
лежит на дуге, стягиваемой хордой AB
и вмещающей угол 75^{\circ}
. Следовательно, таких точек не более двух.
Пусть M
— точка внутри квадрата, для которой треугольник AMD
равносторонний. Тогда AM=AD=AB
, поэтому треугольник BAM
равнобедренный с углом 90^{\circ}-60^{\circ}=30^{\circ}
при вершине A
. Тогда
\angle AMB=\frac{1}{2}(180^{\circ}-30^{\circ})=75^{\circ},
т. е. M
— одна из нужных нам точек. Для неё
\angle BMC=360^{\circ}-60^{\circ}-2\cdot75^{\circ}=150^{\circ}.
Вторая нужная нам точка M_{1}
симметрична точке M
относительно центра квадрата. Для неё
\angle CM_{1}D=\angle DMA=60^{\circ}.