11824. Точка O
лежит внутри выпуклого четырёхугольника A_{1}A_{2}A_{3}A_{4}
. Вершина B_{1}
четырёхугольника B_{1}B_{2}B_{3}B_{4}
— четвёртая вершина параллелограмма OA_{1}A_{2}B_{1}
. Аналогично определяются остальные вершины четырёхугольника B_{1}B_{2}B_{3}B_{4}
(см. рис.). Докажите, что площадь четырёхугольника B_{1}B_{2}B_{3}B_{4}
вдвое больше площади четырёхугольника A_{1}A_{2}A_{3}A_{4}
.
Решение. На продолжениях отрезков A_{1}A_{2}
и A_{3}A_{4}
за точки A_{2}
и A_{4}
отложим отрезки соответственно A_{2}P=A_{1}A_{2}
и A_{4}Q=A_{3}A_{4}
.
Отрезки A_{3}A_{2}
и A_{1}A_{4}
— медианы треугольников A_{1}A_{3}P
и A_{3}A_{1}Q
соответственно, то (см. задачу 3001)
S_{\triangle A_{1}A_{2}A_{3}}=S_{\triangle A_{2}PA_{3}}~\mbox{и}~S_{\triangle A_{3}A_{4}A_{1}}=S_{\triangle A_{4}QA_{1}}.
Треугольник OB_{1}B_{2}
равен треугольнику A_{2}PA_{3}
, а треугольник OB_{3}B_{4}
— треугольнику A_{4}QA_{1}
(по двум сторонам и углу между ними). Значит,
S_{A_{1}A_{2}A_{3}A_{4}}=S_{\triangle A_{1}A_{2}A_{3}}+S_{\triangle A_{3}A_{4}A_{1}}=S_{\triangle A_{2}PA_{3}}+S_{\triangle A_{4}QA_{1}}=S_{\triangle OB_{1}B_{2}}+S_{\triangle OB_{3}B_{4}}.
Аналогично,
S_{A_{1}A_{2}A_{3}A_{4}}=S_{\triangle OB_{2}B_{3}}+S_{\triangle OB_{4}B_{1}}.
Следовательно,
S_{B_{1}B_{2}B_{3}B_{4}}=S_{\triangle OB_{1}B_{2}}+S_{\triangle OB_{3}B_{4}}+S_{\triangle OB_{2}B_{3}}+S_{\triangle OB_{4}B_{1}}=
=S_{A_{1}A_{2}A_{3}A_{4}}+S_{A_{1}A_{2}A_{3}A_{4}}=2S_{A_{1}A_{2}A_{3}A_{4}}.
Что и требовалось доказать.