11827. Окружность, вписанная в полуокружность, касается её диаметра AB
в точке C
. Найдите радиус этой окружности, если AC=m
и BC=n
.
Ответ. \frac{mn}{m+n}
.
Решение. Пусть O
— центр полуокружности, O_{1}
— центр окружности, r
— её радиус, P
— точка касания окружности и полуокружности. Тогда R=\frac{m+n}{2}
— радиус полуокружности, а так как точка O_{1}
лежит на отрезке OP
(см. задачу 1758), то
OO_{1}=OP-O_{1}P=R-r=\frac{m+n}{2}-r.
Треугольник OCO_{1}
прямоугольный с катетами
O_{1}C=r,~OC=|OB-BC|=\left|\frac{m+n}{2}-n\right|=\left|\frac{m-n}{2}\right|
и гипотенузой OO_{1}=\frac{m+n}{2}-r
. По теореме Пифагора
r^{2}+\left|\frac{m-n}{2}\right|^{2}=\left(\frac{m+n}{2}-r\right)^{2},
откуда
r=\frac{\left(\frac{m+n}{2}\right)^{2}-\left(\frac{m-n}{2}\right)^{2}}{m+n}=\frac{mn}{m+n}.