11828. Круг разделён хордой на два сегмента, в каждый из которых вписана окружность, касающаяся хорды в её середине. Кроме того, в эти сегменты вписано ещё по окружности, которые касаются соответственно первых двух. Докажите, что радиусы этих окружностей равны.
Решение. Пусть M
— середина хорды AB
разбивающей данный круг с центром O
на два сегмента, r
и R
(R\geqslant r
)— радиусы окружностей с центрами соответственно O_{1}
и O_{1}
, вписанных в эти сегменты и касающихся хорды AB
в точке M
, X
— центр окружности радиуса x
, касающейся окружности с центром O_{1}
в точке K
, окружности с центром O
— в точке Q
, а хорды AB
— в точке P
.
Точка X
лежит на отрезке OQ
(см. задачу 1758), а так как радиус исходной окружности равен R+r
, то
OX=OQ-XQ=R+r-x.
Опустим перпендикуляр XF
на прямую O_{1}O_{2}
. Из касания окружностей с центрами O_{1}
, O_{2}
и O
получаем, что
OM=R+r-2r=R-r,
поэтому
OF=OM-MF=OM-XP=R-r-x.
По теореме Пифагора
XF^{2}=OX^{2}-OF^{2}=(R+r-x)^{2}-(R-r-x)^{2}=
=(R+r-x-R+r+x)(R+r+R-r-x)=4r(R-x).
С другой стороны, XF=PM=2\sqrt{Rx}
(см. задачу 365). Значит, 4r(R-x)=4Rx
, откуда x=\frac{Rr}{R+r}
. Если радиус окружности, вписанной во второй сегмент и касающейся окружности с центром O_{2}
, равен y
, то аналогично получим, что y=\frac{Rr}{R+r}
. Следовательно, x=y
.