11831. Окружность, построенная на высоте CD
остроугольного треугольника ABC
как на диаметре, проходит через середину M
стороны BC
и пересекает сторону AC
в такой точке N
, что AN:NC=1:3
. Найдите MN
и \angle ACB
.
Ответ. \sqrt{6}
; 75^{\circ}
.
Решение. Вписанные углы CMN
и CDN
опираются на одну и ту же дугу, а DN
— высота прямоугольного треугольника ADC
, опущенная на гипотенузу (см. задачу 1689), поэтому
\angle CMN=\angle CDN=\angle CAD.
Значит, треугольники MCN
и ACB
подобны по двум углам. Пусть коэффициент подобия равен k
. Тогда
k=\frac{CN}{BC}=\frac{\frac{3}{4}AC}{BC}=\frac{3}{4}\cdot\frac{AC}{BC}~\mbox{и}~k=\frac{CM}{AC}=\frac{\frac{1}{2}BC}{AC}=\frac{1}{2}\cdot\frac{AC}{BC}.
Из равенства \frac{3}{4}\cdot\frac{AC}{BC}=\frac{1}{2}\cdot\frac{BC}{AC}
находим, что \frac{AC}{BC}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}
. Тогда
k=\frac{3}{4}\cdot\frac{AC}{BC}=\frac{3}{4}\cdot\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{6}}{4}.
Следовательно,
MN=kAB=\frac{\sqrt{6}}{4}\cdot4=\sqrt{6}.
Отрезки AN
и CN
— проекции катетов прямоугольного треугольника ADC
на гипотенузу, поэтому (см. задачу 1946)
\tg\angle ACD=\frac{AD}{CD}=\sqrt{\frac{AN}{CN}}=\frac{1}{\sqrt{3}}.
Значит, \angle ACD=30^{\circ}
. Аналогично находим, что \tg\angle BCD=1
. Значит, \angle BCD=45^{\circ}
. Следовательно,
\angle ACB=\angle ACD+\angle BCD=30^{\circ}+45^{\circ}=75^{\circ}.