1689. Замечательное свойство окружности. Найдите геометрическое место точек M
, из которых данный отрезок AB
виден под прямым углом (т. е. \angle AMB=90^{\circ}
).
Ответ. Окружность с диаметром AB
без точек A
и B
.
Указание. Если медиана треугольника равна половине стороны, к которой она проведена, то треугольник прямоугольный. Медиана прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы.
Решение. Пусть точка M
, отличная от точек A
и B
, лежит на окружности с диаметром AB
. Тогда медиана MO
треугольника AMB
равна половине стороны, к которой она проведена, Следовательно, \angle AMB=90^{\circ}
(см. задачу 1188).
Пусть теперь данный отрезок AB
виден из некоторой точки M
под прямым углом (т. е. \angle AMB=90^{\circ}
). Тогда медиана MO
прямоугольного треугольника AMB
, проведённая к гипотенузе AB
, равна половине гипотенузы (см. задачу 1109), т. е. OM=OA=OB
. Следовательно, точка M
лежит на окружности с диаметром AB
.