11832. Окружность с центром в середине стороны AB
выпуклого четырёхугольника ABCD
касается сторон BC
, CD
и AD
. Найдите сторону AB
, если AD=a
и BC=b
.
Ответ. 2\sqrt{ab}
.
Решение. Пусть O
— центр полуокружности, а прямые AD
и BC
пересекаются в точке P
. Тогда EO
— биссектриса угла APB
, а так как PO
— медиана этого треугольника, то треугольник APB
равнобедренный. Тогда треугольники DAO
и OBC
подобны (см. задачу 5881), поэтому
\frac{AD}{OA}=\frac{OB}{BC},~\mbox{или}~\frac{a}{OC}=\frac{OB}{b},
откуда
ab=OA\cdot OB=\frac{1}{4}AB^{2}.
Следовательно, AB=2\sqrt{ab}